Rangkuman Materi SPMB STIS - Matematika

 A. Matriks

Matriks adalah sekumpulan bilangan yang disusun dalam bentuk baris dan kolom, biasanya ditulis dalam tanda kurung atau kurung siku

1. Sifat Penjumlahan Matriks

• Komutatif → $A+B=B+AA\; +\; B\; =\; B\; +\; A$ (Urutan penjumlahan tidak mempengaruhi hasil)

• Asosiatif → $(A+B)+C=A+(B+C)(A\; +\; B)\; +\; C\; =\; A\; +\; (B\; +\; C)$ (Pengelompokan tidak mempengaruhi hasil)

• Identitas Penjumlahan → $A+0=AA\; +\; 0\; =\; A$ (Matriks nol adalah elemen identitas)

• Invers Penjumlahan → $A+(-A)=0A\; +\; (-A)\; =\; 0$ (Setiap matriks memiliki invers dalam penjumlahan)

2. Sifat Perkalian Matriks

• Asosiatif → $(A\times B)\times C=A\times (B\times C)(A\; \backslash times\; B)\; \backslash times\; C\; =\; A\; \backslash times\; (B\; \backslash times\; C)$

• Distributif terhadap Penjumlahan → $A\times (B+C)=A\times B+A\times CA\; \backslash times\; (B\; +\; C)\; =\; A\; \backslash times\; B\; +\; A\; \backslash times\; C$

• Identitas Perkalian → $A\times I=AA\; \backslash times\; I\; =\; A$ (Matriks identitas tidak mengubah matriks)

• Tidak Komutatif → $A\times B\mathrm{\ne }B\times AA\; \backslash times\; B\; \backslash neq\; B\; \backslash times\; A$ (Perkalian matriks tidak selalu bisa ditukar)

3. Sifat Transpose Matriks

• $(A+B{)}^T=A^T+B^T(A\; +\; B)^T\; =\; A^T\; +\; B^T$ (Transpose dari penjumlahan sama dengan penjumlahan transpose)

• $(A\times B{)}^T=B^T\times A^T(A\; \backslash times\; B)^T\; =\; B^T\; \backslash times\; A^T$ (Transpose dari perkalian membalik urutan matriks)

B. Grafik Fungsi

Grafik fungsi adalah representasi visual dari hubungan antara variabel input (biasanya $xx$) dan output (biasanya $yy$) dalam suatu fungsi matematika. Grafik ini membantu memahami pola perubahan nilai dan karakteristik fungsi.

Langkah-Langkah Membuat Grafik Fungsi

1. Tentukan Fungsi – Misalnya, $y=x^{2}y\; =\; x^2$ (fungsi kuadrat).

2. Buat Tabel Nilai – Pilih beberapa nilai $xx$ dan hitung $yy$.

3. Plot Titik-Titik – Masukkan hasil perhitungan ke dalam sistem koordinat.

4. Hubungkan Titik-Titik – Bentuk kurva atau garis sesuai pola fungsi.

Jenis Grafik Fungsi

• Linear ($y=mx+cy\; =\; mx\; +\; c$) → Garis lurus.

• Kuadrat ($y=a{x}^2+bx+cy\; =\; ax^2\; +\; bx\; +\; c$) → Parabola.

• Eksponensial ($y=a^{x}y\; =\; a^x$) → Kurva yang meningkat atau menurun tajam.

• Logaritmik ($y=\log xy\; =\; \backslash log\; x$) → Kurva yang naik perlahan.

• Trigonometri ($y=\sin xy\; =\; \backslash sin\; x$, $y=\cos xy\; =\; \backslash cos\; x$) → Gelombang periodik.

C. Peluang

Peluang atau probabilitas adalah ukuran kemungkinan terjadinya suatu peristiwa dalam suatu percobaan atau kejadian acak. Nilai peluang selalu berada dalam rentang 0 hingga 1, di mana:

• 0 berarti kejadian tidak mungkin terjadi.

• 1 berarti kejadian pasti terjadi.

Konsep Dasar Peluang

1. Ruang Sampel – Himpunan semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan.

2. Titik Sampel – Elemen terkecil dalam ruang sampel.

3. Kejadian – Himpunan bagian dari ruang sampel yang mewakili suatu peristiwa.

Rumus Peluang

Jika setiap titik sampel memiliki peluang yang sama, maka peluang suatu kejadian K dapat dihitung dengan:

$$P(K)=\frac{\text{Jumlah hasil yang memenuhi K}}{\text{Jumlah total kemungkinan hasil}}P(K)\; =\; \backslash frac\{\backslash text\{Jumlah\; hasil\; yang\; memenuhi\; K\}\}\{\backslash text\{Jumlah\; total\; kemungkinan\; hasil\}\}$$

Misalnya, peluang munculnya angka genap saat melempar dadu (2, 4, 6) adalah:

$$P(K)=\frac{3}{6}=0.5P(K)\; =\; \backslash frac\{3\}\{6\}\; =\; 0.5$$

Jenis-Jenis Peluang

• Peluang Empirik – Berdasarkan hasil percobaan nyata.

• Peluang Teoretik – Berdasarkan perhitungan matematis.

• Peluang Majemuk – Kombinasi dari dua atau lebih kejadian.

D. Invers

Invers dalam matematika merujuk pada konsep kebalikan dari suatu operasi atau fungsi. Ada beberapa jenis invers yang umum digunakan:

1. Invers Fungsi – Jika suatu fungsi $f(x)f(x)$ memiliki invers, maka fungsi tersebut dapat dibalik sehingga $f^{-1}(x)f^\{-1\}(x)$ mengembalikan nilai awal. Misalnya, jika $f(x)=2x+6f(x)\; =\; 2x\; +\; 6$, maka inversnya adalah $f^{-1}(x)=\frac{x-6}{2}f^\{-1\}(x)\; =\; \backslash frac\{x\; -\; 6\}\{2\}$ 

2. Invers Matriks – Matriks $AA$ memiliki invers $A^{-1}A^\{-1\}$ jika $A\times A^{-1}=IA\; \backslash times\; A^\{-1\}\; =\; I$ (matriks identitas). Invers matriks digunakan dalam sistem persamaan linear dan berbagai aplikasi lainnya 

3. Invers Logika – Dalam logika matematika, invers adalah negasi dari suatu pernyataan. Jika pernyataan awal adalah $p\to qp\; \backslash rightarrow\; q$, maka inversnya adalah $\mathrm{\neg }p\to \mathrm{\neg }q\backslash neg\; p\; \backslash rightarrow\; \backslash neg\; q$ 

E. Limit

Limit dalam matematika adalah konsep yang digunakan untuk memahami perilaku suatu fungsi saat variabelnya mendekati nilai tertentu. Limit sering digunakan dalam kalkulus untuk menentukan kekontinuan, turunan, dan integral.

Pengertian Limit

Limit suatu fungsi $f(x)f(x)$ saat $xx$ mendekati suatu nilai $cc$ dinyatakan sebagai:

$$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=L\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; c\}\; f(x)\; =\; L$$

Artinya, saat $xx$ mendekati $cc$, nilai $f(x)f(x)$ semakin dekat dengan $LL$.

Jenis-Jenis Limit

1. Limit Bilangan Real – Nilai fungsi mendekati angka tertentu.

2. Limit Tak Hingga – Fungsi mendekati nilai yang sangat besar atau kecil.

3. Limit Sebelah – Limit dari arah kiri atau kanan (${\lim }_{x\to c^{-}}\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; c^-\}$ dan ${\lim }_{x\to c^{+}}\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; c^+\}$).

4. Limit Tak Tentu – Bentuk seperti $\frac{0}{0}\backslash frac\{0\}\{0\}$ atau $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}\backslash frac\{\backslash infty\}\{\backslash infty\}$ yang perlu metode khusus untuk dihitung.

Sifat-Sifat Limit

• Limit Penjumlahan: ${\lim }_{x\to c}(f(x)+g(x))={\lim }_{x\to c}f(x)+{\lim }_{x\to c}g(x)\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; c\}\; (f(x)\; +\; g(x))\; =\; \backslash lim\_\{x\; \backslash to\; c\}\; f(x)\; +\; \backslash lim\_\{x\; \backslash to\; c\}\; g(x)$.

• Limit Perkalian: ${\lim }_{x\to c}(f(x)\cdot g(x))={\lim }_{x\to c}f(x)\cdot {\lim }_{x\to c}g(x)\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; c\}\; (f(x)\; \backslash cdot\; g(x))\; =\; \backslash lim\_\{x\; \backslash to\; c\}\; f(x)\; \backslash cdot\; \backslash lim\_\{x\; \backslash to\; c\}\; g(x)$.

• Limit Pecahan: ${\lim }_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{{\lim }_{x\to c}f(x)}{{\lim }_{x\to c}g(x)}\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; c\}\; \backslash frac\{f(x)\}\{g(x)\}\; =\; \backslash frac\{\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; c\}\; f(x)\}\{\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; c\}\; g(x)\}$, jika ${\lim }_{x\to c}g(x)\mathrm{\ne }0\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; c\}\; g(x)\; \backslash neq\; 0$.

Metode Menghitung Limit

1. Substitusi Langsung – Jika hasilnya tidak tak tentu.

2. Faktorisasi – Untuk menyederhanakan bentuk fungsi.

3. Perkalian dengan Bentuk Sekawan – Digunakan untuk limit dengan akar.

4. Dalil L'Hôpital – Jika bentuknya $\frac{0}{0}\backslash frac\{0\}\{0\}$ atau $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}\backslash frac\{\backslash infty\}\{\backslash infty\}$, gunakan turunan.

F. Soal Cerita Penalaran

Soal cerita penalaran adalah jenis soal yang menguji kemampuan berpikir logis dan analitis seseorang dalam menyelesaikan masalah berdasarkan informasi yang diberikan dalam bentuk cerita atau situasi nyata.

ex: Seorang petani memiliki 24 ekor ayam dan 18 ekor bebek. Ia ingin membagi hewan-hewan tersebut ke dalam beberapa kandang dengan jumlah yang sama untuk setiap kandang. Berapa jumlah maksimum kandang yang dapat dibuat? Jawaban: 6 kandang (menggunakan konsep FPB).

Sebuah kereta api berangkat dari stasiun pukul 08:00 dan menempuh perjalanan sejauh 240 km dengan kecepatan rata-rata 80 km/jam. Pada pukul berapa kereta api tiba di tujuan? Jawaban: 11:00 (menggunakan rumus waktu = jarak/kecepatan).

Simpulan logis adalah kesimpulan yang diperoleh berdasarkan hubungan yang jelas antara premis-premis yang diberikan. Kesimpulan ini harus mengikuti aturan logika, sehingga tidak ada kontradiksi atau asumsi yang tidak berdasar. Dalam penalaran logis, ada dua pendekatan utama:

• Penalaran Deduktif – Menarik kesimpulan dari premis umum ke kasus khusus. Contoh: Semua manusia bernapas. Ali adalah manusia. Maka, Ali bernapas.

• Penalaran Induktif – Menarik kesimpulan dari kasus-kasus khusus untuk membentuk prinsip umum. Contoh: Setiap kali hujan, jalanan menjadi basah. Maka, hujan menyebabkan jalanan basah.

Penalaran analitik adalah proses berpikir yang melibatkan analisis sistematis terhadap informasi untuk menemukan pola, hubungan, atau solusi. Ini sering digunakan dalam pemecahan masalah dan pengambilan keputusan. Penalaran analitik mencakup:

• Identifikasi masalah – Memahami inti dari suatu persoalan.

• Evaluasi bukti – Menilai informasi yang tersedia secara objektif.

• Pembuatan kesimpulan – Menyusun solusi berdasarkan analisis yang logis.

G. Pangkat

Pangkat dalam matematika adalah operasi yang melibatkan perkalian berulang suatu bilangan dengan dirinya sendiri. Jika suatu bilangan $aa$ dipangkatkan dengan $nn$, maka ditulis sebagai:

$$a^n=a\times a\times a\times \mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}\times a(\text{sebanyak }n\text{ kali})a^n\; =\; a\; \backslash times\; a\; \backslash times\; a\; \backslash times\; ...\; \backslash times\; a\; \backslash quad\; (\backslash text\{sebanyak\; \}\; n\; \backslash text\{\; kali\})$$

Jenis-Jenis Pangkat

1. Pangkat Positif – Bilangan dikalikan dengan dirinya sendiri sejumlah pangkatnya.

   • Contoh: $2^3=2\times 2\times 2=82^3\; =\; 2\; \backslash times\; 2\; \backslash times\; 2\; =\; 8$.

2. Pangkat Nol – Setiap bilangan yang dipangkatkan nol bernilai 1.

   • Contoh: $5^0=15^0\; =\; 1$.

3. Pangkat Negatif – Bilangan berpangkat negatif berarti kebalikannya dalam bentuk pecahan.

   • Contoh: $2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}2^\{-3\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{2^3\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{8\}$.

4. Pangkat Pecahan – Digunakan untuk menyatakan akar suatu bilangan.

   • Contoh: $9^{\frac{1}{2}}=\sqrt{9}=39^\{\backslash frac\{1\}\{2\}\}\; =\; \backslash sqrt\{9\}\; =\; 3$.

Sifat-Sifat Pangkat

• Penjumlahan Pangkat: $a^m\times a^n=a^{m+n}a^m\; \backslash times\; a^n\; =\; a^\{m+n\}$.

• Pengurangan Pangkat: $a^m÷a^n=a^{m-n}a^m\; \backslash div\; a^n\; =\; a^\{m-n\}$.

• Perkalian Pangkat: $(a^m{)}^n=a^{m\times n}(a^m)^n\; =\; a^\{m\; \backslash times\; n\}$.

• Perkalian Bilangan Berpangkat: $(a\times b{)}^n=a^n\times b^n(a\; \backslash times\; b)^n\; =\; a^n\; \backslash times\; b^n$.

H. Akar

akar adalah operasi yang digunakan untuk mencari bilangan yang, jika dipangkatkan dengan suatu nilai tertentu, menghasilkan bilangan asal. Akar sering ditulis menggunakan simbol √ (radikal).

Jenis-Jenis Akar

1. Akar Kuadrat ($\sqrt{x}\backslash sqrt\{x\}$) – Bilangan yang jika dipangkatkan dua menghasilkan $xx$.

   • Contoh: $\sqrt{25}=5\backslash sqrt\{25\}\; =\; 5$ karena $5^2=255^2\; =\; 25$.

2. Akar Kubik ($\sqrt[3]{x}\backslash sqrt[3]\{x\}$) – Bilangan yang jika dipangkatkan tiga menghasilkan $xx$.

   • Contoh: $\sqrt[3]{27}=3\backslash sqrt[3]\{27\}\; =\; 3$ karena $3^3=273^3\; =\; 27$.

3. Akar Pangkat n ($\sqrt[n]{x}\backslash sqrt[n]\{x\}$) – Bilangan yang jika dipangkatkan $nn$ menghasilkan $xx$.

   • Contoh: $\sqrt[4]{16}=2\backslash sqrt[4]\{16\}\; =\; 2$ karena $2^4=162^4\; =\; 16$.

Sifat-Sifat Akar

• $\sqrt{a}\times \sqrt{b}=\sqrt{a\times b}\backslash sqrt\{a\}\; \backslash times\; \backslash sqrt\{b\}\; =\; \backslash sqrt\{a\; \backslash times\; b\}$

• $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\backslash frac\{\backslash sqrt\{a\}\}\{\backslash sqrt\{b\}\}\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{a\}\{b\}\}$

• $(\sqrt{a}{)}^2=a(\backslash sqrt\{a\})^2\; =\; a$

• $\sqrt{a^n}=a^{n\mathrm{/}2}\backslash sqrt\{a^n\}\; =\; a^\{n/2\}$

Merasionalkan Bentuk Akar

Jika akar berada di penyebut pecahan, kita bisa menghilangkannya dengan mengalikan bentuk sekawan. Misalnya:

$$\frac{1}{\sqrt{2}}\times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

I. Deret

deret adalah jumlah dari suku-suku dalam suatu barisan bilangan. Jika suatu barisan terdiri dari bilangan $a_1,a_2,a_3,\dots a\_1,\; a\_2,\; a\_3,\; \backslash dots$, maka deretnya adalah:

$$S_n=a_1+a_2+a_3+\cdots +a_{n}S\_n\; =\; a\_1\; +\; a\_2\; +\; a\_3\; +\; \backslash dots\; +\; a\_n$$

Jenis-Jenis Deret

1. Deret Aritmetika – Suku-suku dalam deret memiliki selisih tetap.

   • Contoh: $2+5+8+11+\dots 2\; +\; 5\; +\; 8\; +\; 11\; +\; \backslash dots$ (selisih antar suku = 3).

   • Rumus jumlah suku ke-$nn$:

$$S_n=\frac{n}{2}(2a+(n-1)d)S\_n\; =\; \backslash frac\{n\}\{2\}\; (2a\; +\; (n-1)d)$$

2. Deret Geometri – Suku-suku dalam deret memiliki rasio tetap.

   • Contoh: $2+4+8+16+\dots 2\; +\; 4\; +\; 8\; +\; 16\; +\; \backslash dots$ (rasio antar suku = 2).

   • Rumus jumlah suku ke-$nn$:

$$S_n=a\frac{(1-r^n)}{(1-r)}S\_n\; =\; a\; \backslash frac\{(1\; -\; r^n)\}\{(1\; -\; r)\}$$

3. Deret Tak Hingga – Deret yang jumlah sukunya tidak terbatas.

   • Jika deret geometri memiliki , maka jumlahnya dapat dihitung dengan:

$$S=\frac{a}{1-r}S\; =\; \backslash frac\{a\}\{1\; -\; r\}$$

Konvergensi dan Divergensi

• Deret Konvergen – Jika jumlah suku-suku mendekati nilai tertentu.

• Deret Divergen – Jika jumlah suku-suku terus bertambah tanpa batas.

J. Statistika

Statistika adalah ilmu yang mempelajari cara mengumpulkan, menganalisis, menginterpretasikan, dan menyajikan data. Statistika digunakan dalam berbagai bidang, termasuk ekonomi, sains, bisnis, dan pemerintahan.

Jenis-Jenis Statistika

1. Statistika Deskriptif – Digunakan untuk menyajikan data dalam bentuk tabel, grafik, atau ringkasan numerik seperti rata-rata dan median.

2. Statistika Inferensial – Digunakan untuk membuat kesimpulan atau prediksi berdasarkan sampel data.

K. Persamaan Dua dan Tiga Variable

Sistem Persamaan Linear Dua dan Tiga Variabel (SPLDV & SPLTV) adalah sistem persamaan yang melibatkan dua atau tiga variabel dalam bentuk persamaan linear.

1. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

SPLDV terdiri dari dua persamaan dengan dua variabel, biasanya $xx$ dan $yy$. Bentuk umumnya:

$$ax+by=cax\; +\; by\; =\; c$$

$$dx+ey=fdx\; +\; ey\; =\; f$$

Metode penyelesaian SPLDV:

• Metode Grafik – Menentukan titik potong dua garis.

• Metode Substitusi – Mengubah satu persamaan menjadi bentuk ekspresi dan menggantikan dalam persamaan lain.

• Metode Eliminasi – Menghilangkan salah satu variabel dengan operasi aljabar.

2. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

SPLTV terdiri dari tiga persamaan dengan tiga variabel, biasanya $x,y,x,\; y,$ dan $zz$. Bentuk umumnya:

$$ax+by+cz=dax\; +\; by\; +\; cz\; =\; d$$

$$ex+fy+gz=hex\; +\; fy\; +\; gz\; =\; h$$

$$ix+jy+kz=lix\; +\; jy\; +\; kz\; =\; l$$

Metode penyelesaian SPLTV:

• Metode Eliminasi Bertahap – Menghilangkan satu variabel secara bertahap hingga tersisa satu persamaan dengan satu variabel.

• Metode Substitusi – Mengubah satu persamaan menjadi ekspresi dan menggantikan dalam persamaan lain.

• Metode Matriks (Gauss-Jordan) – Menggunakan operasi matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

M. Pertidaksamaan Kuadrat

Pertidaksamaan kuadrat adalah bentuk pertidaksamaan yang melibatkan variabel berpangkat dua. Bentuk umumnya adalah:

dengan $a\mathrm{\ne }0a\; \backslash neq\; 0$.

Langkah Penyelesaian Pertidaksamaan Kuadrat

1. Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat

   • Selesaikan $a{x}^2+bx+c=0ax^2\; +\; bx\; +\; c\; =\; 0$ menggunakan pemfaktoran atau rumus kuadrat.

2. Membuat Garis Bilangan

   • Letakkan akar-akar pada garis bilangan untuk menentukan interval.

3. Menentukan Tanda di Setiap Interval

   • Pilih titik uji dari setiap interval dan substitusikan ke dalam pertidaksamaan.

4. Menentukan Himpunan Penyelesaian

   • Pilih interval yang sesuai dengan tanda pertidaksamaan.

Contoh Soal

Tentukan penyelesaian dari .

1. Faktorkan:

Akar-akar: $x=3x\; =\; 3$ dan $x=-2x\; =\; -2$.

2. Garis bilangan:

   • Interval: , , $x>3x\; >\; 3$.

   • Uji tanda:

     • $x=-3\Rightarrow (+)x\; =\; -3\; \backslash Rightarrow\; (+)$

     • $x=0\Rightarrow (-)x\; =\; 0\; \backslash Rightarrow\; (-)$

     • $x=4\Rightarrow (+)x\; =\; 4\; \backslash Rightarrow\; (+)$

3. Karena pertidaksamaan , pilih interval bertanda negatif:

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah .

N. Persamaan Linear

Persamaan linear adalah persamaan matematika yang memiliki variabel berpangkat satu dan membentuk garis lurus jika digambarkan dalam sistem koordinat Kartesius. Bentuk umum persamaan linear adalah:

$$ax+b=0ax\; +\; b\; =\; 0$$

di mana:

• $aa$ adalah koefisien variabel,

• $xx$ adalah variabel,

• $bb$ adalah konstanta.

Jenis-Jenis Persamaan Linear

1. Persamaan Linear Satu Variabel (PLSV)

   • Bentuk: $ax+b=0ax\; +\; b\; =\; 0$

   • Contoh: $3x+5=03x\; +\; 5\; =\; 0$ → $x=-\frac{5}{3}x\; =\; -\backslash frac\{5\}\{3\}$.

2. Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV)

   • Bentuk: $ax+by=cax\; +\; by\; =\; c$

   • Contoh: $2x+3y=62x\; +\; 3y\; =\; 6$.

3. Persamaan Linear Tiga Variabel (PLTV)

   • Bentuk: $ax+by+cz=dax\; +\; by\; +\; cz\; =\; d$

   • Contoh: $x+2y+3z=10x\; +\; 2y\; +\; 3z\; =\; 10$.

Metode Penyelesaian Persamaan Linear

• Substitusi – Mengganti satu variabel dengan ekspresi dari persamaan lain.

• Eliminasi – Menghilangkan satu variabel dengan operasi aljabar.

• Grafik – Menentukan titik potong dua garis dalam sistem koordinat.